Tìm kiếm tam phân là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa tìm kiếm tam phân

Tìm kiếm tam phân (ternary search) là một thuật toán tìm kiếm trong khoa học máy tính được sử dụng để xác định giá trị cụ thể hoặc cực trị trong mảng đã được sắp xếp hoặc trong một hàm unimodal. Khác với tìm kiếm nhị phân, thuật toán này chia không gian tìm kiếm thành ba phần thay vì hai, nhờ đó tối ưu hóa việc loại bỏ các khoảng không cần thiết và giảm số bước tìm kiếm.

Trong các ứng dụng khoa học dữ liệu và lập trình cạnh tranh, tìm kiếm tam phân giúp tăng hiệu quả khi tìm kiếm cực trị hoặc phần tử trong dữ liệu lớn, đặc biệt khi hàm mục tiêu có tính chất unimodal, tức chỉ tăng sau đó giảm hoặc ngược lại.

Sự khác biệt cơ bản so với tìm kiếm nhị phân là khả năng xử lý các bài toán tối ưu hóa liên tục và bài toán cực trị, khiến tìm kiếm tam phân trở thành một công cụ quan trọng trong toán học tính toán và các thuật toán tối ưu.

Nguyên lý hoạt động

Nguyên lý của tìm kiếm tam phân dựa trên việc chia khoảng tìm kiếm thành ba phần bằng hai điểm phân tách. Sau đó, thuật toán so sánh giá trị mục tiêu hoặc giá trị hàm tại hai điểm này để quyết định phần nào tiếp tục tìm kiếm, loại bỏ phần không chứa mục tiêu. Mỗi bước thu hẹp không gian tìm kiếm đi 1/3.

Trong tìm kiếm cực trị của hàm unimodal, nếu giá trị tại điểm m1 nhỏ hơn m2, cực trị nằm trong khoảng [m1, r]; ngược lại, nếu f(m1) > f(m2), cực trị nằm trong khoảng [l, m2]. Quá trình này lặp lại cho đến khi đạt độ chính xác mong muốn.

Điều này cho phép thuật toán tìm kiếm tam phân nhanh chóng thu hẹp khoảng tìm kiếm mà không cần kiểm tra toàn bộ mảng hoặc miền giá trị, tối ưu hóa số phép so sánh và thời gian thực thi.

Cách triển khai thuật toán

Thuật toán tìm kiếm tam phân có thể triển khai theo hai cách: đệ quy hoặc lặp. Trong triển khai đệ quy, hàm tự gọi chính nó trên khoảng con chứa giá trị mục tiêu. Trong phương pháp lặp, một vòng lặp while hoặc for được sử dụng để liên tục thu hẹp khoảng tìm kiếm cho đến khi giá trị được tìm thấy hoặc khoảng đạt độ chính xác mong muốn.

Mỗi lần chia tam phân, thuật toán loại bỏ một phần ba không gian tìm kiếm, làm giảm số bước cần thực hiện so với kiểm tra tuần tự hoặc một số phương pháp khác. Đối với mảng sắp xếp hoặc hàm unimodal, phương pháp này mang lại hiệu quả cao về số bước tìm kiếm.

Bảng minh họa sự khác biệt trong việc loại bỏ không gian tìm kiếm giữa nhị phân và tam phân:

Thuật toán	Không gian loại bỏ mỗi bước	Số phép so sánh mỗi bước
Tìm kiếm nhị phân	1/2	1
Tìm kiếm tam phân	1/3	2

Ứng dụng trong tìm cực trị hàm unimodal

Tìm kiếm tam phân đặc biệt hữu ích khi tìm cực đại hoặc cực tiểu của hàm unimodal. Thuật toán so sánh giá trị tại hai điểm phân tách và loại bỏ khoảng không chứa cực trị, từ đó nhanh chóng xác định giá trị cực đại hoặc cực tiểu với độ chính xác cao.

Công thức xác định hai điểm phân tách trong khoảng [l, r]: $m_1 = l + \frac{r-l}{3}, \quad m_2 = r - \frac{r-l}{3}$ Nếu f(m1) < f(m2), cực trị nằm trong [m1, r]; nếu f(m1) > f(m2), cực trị nằm trong [l, m2]. Quá trình này lặp lại cho đến khi khoảng đạt độ chính xác yêu cầu.

Phương pháp này được áp dụng trong tối ưu hóa liên tục, tìm điểm cực trị trong đồ thị hàm toán học, lập trình cạnh tranh, và các bài toán tối ưu hóa chi phí, năng suất hay lợi nhuận trong kinh tế và kỹ thuật.

Phân tích độ phức tạp

Độ phức tạp thời gian của tìm kiếm tam phân trong mảng sắp xếp hoặc khi tìm cực trị hàm unimodal là $O(\log_3 n)$ vì mỗi bước loại bỏ 1/3 không gian tìm kiếm. So sánh với tìm kiếm nhị phân $O(\log_2 n)$, tam phân có thể thực sự hiệu quả hơn trong một số trường hợp khi tìm cực trị.

Tuy nhiên, trong thực tế với mảng sắp xếp thông thường, nhị phân thường nhanh hơn do mỗi bước tìm kiếm chỉ yêu cầu một phép so sánh, trong khi tam phân cần hai phép so sánh để xác định khoảng cần tiếp tục tìm kiếm.

Ưu điểm và nhược điểm

Ưu điểm của tìm kiếm tam phân bao gồm:

• Hiệu quả cao khi tìm cực trị trong hàm unimodal
• Thu hẹp khoảng tìm kiếm nhanh chóng, giảm số bước cần thiết
• Dễ triển khai bằng đệ quy hoặc lặp

Nhược điểm:

• Trong mảng sắp xếp thông thường, cần nhiều phép so sánh hơn tìm kiếm nhị phân
• Chỉ áp dụng hiệu quả cho mảng đã sắp xếp hoặc hàm unimodal
• Hiệu quả thực tế phụ thuộc vào kiểu dữ liệu và độ lớn của mảng

Ví dụ minh họa thuật toán

Giả sử muốn tìm cực đại của hàm $f(x) = -(x-3)^2 + 9$ trên khoảng [0,6]. Thuật toán tìm kiếm tam phân xác định hai điểm phân tách: $m_1 = l + \frac{r-l}{3}, \quad m_2 = r - \frac{r-l}{3}$ so sánh f(m1) và f(m2), sau đó chọn khoảng chứa cực đại và loại bỏ phần còn lại. Quá trình này lặp lại đến khi khoảng đủ nhỏ để xác định giá trị cực đại với độ chính xác mong muốn.

Mã giả minh họa:

• l = 0, r = 6
• while (r-l > epsilon)
•   m1 = l + (r-l)/3, m2 = r - (r-l)/3
•   if f(m1) < f(m2) then l = m1 else r = m2

So sánh với tìm kiếm nhị phân

Trong tìm kiếm nhị phân, mỗi bước chia khoảng tìm kiếm thành hai và loại bỏ một nửa không gian, yêu cầu một phép so sánh. Trong khi đó, tìm kiếm tam phân chia thành ba phần, loại bỏ 1/3 không gian nhưng cần hai phép so sánh. Do đó, trong mảng sắp xếp thông thường, nhị phân vẫn phổ biến hơn vì số phép so sánh ít hơn.

Tuy nhiên, trong bài toán tối ưu hóa liên tục hoặc tìm cực trị hàm unimodal, tam phân có thể hiệu quả hơn nhị phân vì việc loại bỏ một phần ba giúp nhanh chóng thu hẹp khoảng cực trị, đặc biệt khi hàm lớn hoặc phức tạp.

Ứng dụng thực tiễn

Tìm kiếm tam phân được sử dụng rộng rãi trong các bài toán tối ưu hóa, như:

• Tìm cực đại lợi nhuận hoặc tối thiểu chi phí trong kinh tế học
• Tối ưu hóa tốc độ hoặc lực trong cơ học và robot
• Tối ưu hóa tham số trong khoa học dữ liệu hoặc mô hình học máy
• Giải quyết các bài toán lập trình cạnh tranh yêu cầu tìm cực trị nhanh chóng

Ngoài ra, thuật toán cũng áp dụng trong các bài toán liên quan đến tối ưu hóa liên tục, chẳng hạn xác định giá trị x tối ưu để hàm mục tiêu đạt cực đại, hoặc tối thiểu hóa sai số trong mô hình toán học.

Tài liệu tham khảo

1. Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms. MIT Press.
2. Skiena, S. S. (2008). The Algorithm Design Manual. Springer.
3. GeeksforGeeks. Ternary Search. https://www.geeksforgeeks.org/ternary-search/
4. Khan Academy. Binary and Ternary Search Algorithms. https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/algorithms
5. Sharma, P., & Sharma, V. (2017). Analysis of Ternary Search Algorithms. International Journal of Computer Applications, 162(6), 1–6.